取余运算 vs 取模运算

• 取余运算（remainder）在计算商时，会将商向0方向舍入。这意味着取余运算尽可能让余数的绝对值最小。
• 取模运算（modulus）在计算商时，会将商向负无穷方向舍入。取模运算尽可能让商的值最小。

当两个数都是正数时，取余运算和取模运算的结果是一样的，因为它们的商都是向0方向舍入的。然而，当两个数符号不同时，取余运算和取模运算的结果会不同。

Fortran标准提供取余函数MOD和取模函数MODULO。

MOD函数

计算A除以P的余数。

R=MOD(A,P)

参数A是INTEGER或者REAL类型的标量。参数P必须与A相同类型和精度，不能为0。

函数返回结果是$A-(INT(A/P)* P)$ ，返回值R符号与参数A相同，且$|R|<|P|$。

MODULO

计算A对P取模结果。

R=MODULO(A,P)

参数A是INTEGER或REAL类型的标量。参数P必须与A相同类型和精度,。

返回结果类型和精度与参数相同，且返回值R符号与P相同,且$|R|<|P|$。。

如果A和P是INTEGER类型，返回结果R满足$A=Q*P+R$ ，其中Q是一个整数，$R\in [0,P)$ 。

如果A和P是REAL类型，返回结果$A-FLOOR(A/P)*P$。

区别

两者区别：当参数A和P都为正数时，mod和modulo计算结果相同，但当参数有负数时，两者结果不同。

• MOD(A,P) 返回结果符号与A相同。
• MODULO(A,P) 返回结果符号与P相同。

  print*, mod(17,3)       ! 2
  print*, mod(-17,3)      ! -2
  print*, mod(17,-3)      ! 2
  print*, mod(-17,-3)     ! -2
  print*, mod(17.,3.)     ! 2.00000000

  print*, modulo(17,3)    ! 2
  print*, modulo(-17,3)   ! 1    注意这里与mod(-17,3)结果不同
  print*, modulo(17,-3)   ! -1   注意这里与mod(17,-3)结果不同
  print*, modulo(-17,-3)  ! -2
  print*, modulo(17.,3.)  ! 2.00000000

C和Python情况

• C语言运算符%行为与Fortran的取余函数MOD相同。

#include <stdio.h>

int main(void) {
  printf(" 17 %  3 = %d\n", 17 % 3);
  printf("-17 %  3 = %d\n", -17 % 3);
  printf(" 17 % -3 = %d\n", 17 % -3);
  printf("-17 % -3 = %d\n", -17 % -3);
  return 0;
}

执行结果：

 17 % 3 = 2
-17 % 3 = -2
 17 % -3 = 2
-17 % -3 = -2

• Python

Python运算符%行为与Fortran的取模函数MODULO相同。

#!/usr/bin/env python

print(" 17 %  3 = ", 17 % 3)
print("-17 %  3 = ", -17 % 3)
print(" 17 % -3 = ", 17 % -3)
print("-17 % -3 = ", -17 % -3)

执行结果：

 17 %  3 =  2
-17 %  3 =  1
 17 % -3 =  -1
-17 % -3 =  -2

参考资料

https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gfortran/MOD.html

https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gfortran/MODULO.html